Hermann Weyl đã mở đầu một bài diễn thuyết về toán học-triết học vào năm 1930 với câu nói:[13] "Toán học là môn khoa học của vô hạn"

Biểu tượng vô cực

Biểu tượng vô cực ∞ {\displaystyle \infty } là một biểu tượng toán học đại diện cho khái niệm vô cực. Biểu tượng được mã hóa bằng Unicode tại U+221E ∞ infinity (HTML ∞ · ∞) và trong LaTeX như \infty.

Nó được giới thiệu vào năm 1655 bởi John Wallis,[14][15] và, kể từ khi được giới thiệu, nó cũng đã được sử dụng bên ngoài toán học trong chủ nghĩa thần bí hiện đại [16] và ký hiệu văn học.[17]

Giải tích

Leibniz, một trong những người đồng phát minh ra phép tính vi tích phân, đã suy đoán rộng rãi về số lượng vô hạn và việc sử dụng chúng trong toán học. Đối với Leibniz, cả số lượng vô hạn và số lượng vô hạn đều là những thực thể lý tưởng, không có cùng bản chất với số lượng đáng kể, nhưng được hưởng các tính chất tương tự theo Luật liên tục.[18][19]

Giải tích thực

Trong giải tích thực, biểu tượng ∞ {\displaystyle \infty } , được gọi là "vô cực", được sử dụng để biểu thị một giới hạn không giới hạn.[20] Ký hiệu x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } có nghĩa là x tăng không giới hạn và x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } có nghĩa là   x giảm không giới hạn. Nếu f (t) ≥ 0 cho mọi t, thì [21]

• ∫ a b f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty } có nghĩa là f(t) không bị giới hạn trong khoảng nào từ a {\displaystyle a} tới b . {\displaystyle b.}
• ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty } nghĩa là tổng diện tích f(t) là vô hạn trong miền giới hạn.
• ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a} nghĩa là tổng diện tích của f(t) trong miền giới hạn là hữu hạn, và bằng a . {\displaystyle a.}

Vô hạn cũng được sử dụng để mô tả chuỗi vô hạn:

• ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a} nghĩa là tổng của chuỗi vô hạn này là hội tụ đến số thực a . {\displaystyle a.}
• ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty } tổng của chuỗi vô hạn này là phân kỳ.[cần dẫn nguồn]